代驾司机与代驾公司之间可以存在劳动关系。依据《劳动法》等相关法律，若双方主体适格且代驾公司制度符合劳动法规定，即便无书面合同，也视为存在劳动关系。不及时确认劳动关系，可能影响司机权益，如工资、社保等保障。
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是。若符合劳动关系特征，司机可享受劳动法保护，如签订正式合同、获取固定薪资等；若双方更偏向合作，可签订合作协议，明确双方权利义务，如服务内容、费用分配等。具体操作需根据实际情况选择。
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代驾司机与代驾公司关系的常见处理方式有：确认劳动关系或签订合作协议。选择方式需考虑实际工作情况，如工作时长、公司控制程度等。劳动关系更适合长期稳定工作，合作协议适合灵活短期合作。